소볼레프 공간

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1. 개요

소볼레프 공간은 Lp 공간의 부분 집합으로, 함수와 그 약미분이 유한한 Lp 노름을 갖는 함수들의 집합이다. 이 공간은 함수가 얼마나 "부드러운지"를 나타내는 데 사용되며, 편미분 방정식을 연구하는 데 중요한 역할을 한다. 소볼레프 공간에는 스칼라 값, 다양체 및 분수 차수 공간 등 다양한 유형이 있으며, 함수 공간의 포함 관계와 푸앵카레-비르팅거 부등식과 같은 중요한 성질을 갖는다. 0차 소볼레프 공간은 르베그 공간과 같으며, 1차원에서의 (1,1)차 소볼레프 공간은 절대 연속 함수의 공간, (1,∞)차 소볼레프 공간은 립시츠 연속 함수의 공간과 일치한다. 소볼레프 임베딩 정리와 소볼레프 부등식은 소볼레프 공간의 중요한 성질을 나타낸다. 베셀 포텐셜 공간과 소볼레프-슬로보데츠키 공간은 소볼레프 공간의 확장된 개념이며, 소볼레프 공간은 편미분 방정식 연구에서 함수의 경계값을 고려하는 데 중요한 트레이스 연산자를 포함한다. 이 개념은 1938년 세르게이 소볼레프에 의해 처음 소개되었다.

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소볼레프 공간
개요
정의	함수 공간
분야	수학, 해석학
하위 분야	실해석학, 편미분 방정식
역사적 맥락
이름의 유래	세르게이 소볼레프
창시자	세르게이 소볼레프, 스테판 르비에프
주요 내용
특징	바나흐 공간 힐베르트 공간
일반화	베셀 포텐셜 공간
참고
관련 항목	함수해석학 분포 약미분

2. 정의

이 섹션과 기사 전체에서 Ω는 Rⁿ의 열린 부분 집합이다.

수학 함수가 얼마나 '매끄러운지'를 판단하는 기준은 다양하다. 가장 기본적인 것은 연속성이고, 더 나아가 미분 가능성을 따질 수 있다. 도함수까지 연속인 함수(C¹-급)는 더욱 매끄럽다고 할 수 있다. 미분 가능한 함수는 미분 방정식 연구 등 여러 분야에서 중요하지만, 20세기 들어 C¹과 같은 전통적인 함수 공간만으로는 미분 방정식의 해를 다루기에 충분하지 않다는 점이 인식되었다. 소볼레프 공간은 이러한 한계를 극복하기 위해 등장했으며, 특히 편미분 방정식의 해를 찾고 분석하는 데 필수적인 현대적인 함수 공간이다.

미분 방정식으로 표현되는 물리 현상의 속성은 종종 르베그 공간의 노름을 이용한 적분 형태로 나타난다. 따라서 일반적인 르베그 공간에 속하는 함수에 대해서도 미분과 유사한 개념을 적용할 도구가 필요했고, 이것이 소볼레프 공간의 중요한 동기가 되었다.

소볼레프 공간의 핵심 아이디어는 약한 도함수 개념이다. 이는 함수가 모든 점에서 미분 가능하지 않더라도, 부분 적분을 이용하여 일종의 '평균적인' 도함수를 정의하는 방식이다. 함수가 충분히 매끄럽다면 약한 도함수는 기존의 도함수와 일치한다.

이를 바탕으로, 소볼레프 공간 W^k,p(Ω)는 특정 L^p(Ω)에 속하는 함수 u 중에서, 그 약한 도함수들(k차까지) 역시 L^p(Ω)에 속하는 함수들의 모임으로 정의된다. 즉, 함수 자체의 '크기'뿐만 아니라 그 도함수들의 '크기'까지 함께 L^p 노름으로 제어하는 공간이다. 이러한 공간은 자연스러운 노름을 가지며, 이 노름에 대해 바나흐 공간이 된다.

2. 1. 스칼라 값 정수 차수 소볼레프 공간

수학 함수의 매끄러움을 판단하는 기준은 여러 가지가 있다. 가장 기본적인 것은 연속성이고, 더 강한 기준은 미분 가능성이다 (미분 가능한 함수는 항상 연속이다). 도함수까지 연속인 함수(C¹-급)는 더 강한 매끄러움 조건을 만족한다. 미분 가능한 함수는 여러 분야, 특히 미분 방정식 이론에서 중요하게 다뤄진다. 그러나 20세기에 들어 C¹ 또는 C² 같은 함수 공간이 미분 방정식의 해를 연구하기에 항상 적합하지는 않다는 점이 밝혀졌다. 소볼레프 공간은 이러한 기존 공간을 대체하여 편미분 방정식의 해를 찾는 데 사용되는 현대적인 함수 공간으로, 해가 가지는 물리량이나 속성을 L^p-노름과 같은 적분 노름으로 표현하는 데 유용하다.

부분 적분 공식은 약한 도함수 개념의 기초를 제공한다.

\Omega

를

\R^n

의 열린 부분 집합이라고 하자. 다중 지수

\alpha

(단,

|\alpha|=k

)와 컴팩트 지지를 갖는 무한히 미분 가능한 함수

\varphi \in C_c^{\infty}(\Omega)

에 대해, 함수

u \in C^k(\Omega)

는 다음을 만족한다.

:

\int_\Omega u\,D^{\alpha\!}\varphi\,dx=(-1)^

\int_\Omega \varphi\, D^{\alpha\!} u\,dx,

여기서

D^{\alpha\!}f = \frac{\partial^

\! f}{\partial x_{1}^{\alpha_{1}} \dots \partial x_{n}^{\alpha_{n}}}는 고전적인 편미분 연산자이다.

이 식의 좌변은

u

가 국소 적분 가능하기만 해도 의미를 가진다. 만약 모든

\varphi\in C_c^\infty(\Omega)

에 대해 다음 식을 만족하는 국소 적분 가능한 함수

v

가 존재한다면,

:

\int_\Omega u\,D^{\alpha\!}\varphi\;dx=(-1)^

\int_\Omega \varphi \,v \;dx

이때

v

를

u

의 약한 $\alpha$ 차 편미분이라고 부른다. 약한 편미분이 존재하면 측도 0인 집합을 제외하고 유일하게 정의되므로, 르베그 공간의 원소로서 잘 정의된다. 만약

u

가 충분히 매끄러운 함수(

u\in C^k(\Omega)

)라면 약한 도함수는 고전적인 도함수와 일치한다. 따라서 약한

\alpha

차 편미분

v

를

D^\alpha u := v

로 표기할 수 있다.

예를 들어, 다음과 같은 함수를 생각해보자.

:

u(x)=\begin{cases} 1+x & -1

이 함수

u(x)

는

x=0

에서 불연속이고

x=-1, 0, 1

에서 미분 불가능하다. 하지만 다음 함수

:

v(x)=\begin{cases} 1 & -1

는

u(x)

의 약한 도함수가 되며, 이 덕분에

u(x)

는 (적절한

p

에 대해) 소볼레프 공간

W^{1,p}

에 속할 수 있다.

소볼레프 공간

W^{k,p}(\Omega)

는 함수의 약한 미분 가능성과 르베그 노름을 결합한 개념이다.

k \in \N

(자연수)이고

1 \leqslant p \leqslant \infty

라고 하자. 열린 집합

\Omega \subseteq \R^n

위의 소볼레프 공간

W^{k,p}(\Omega)

는

L^p(\Omega)

에 속하는 함수

u

중에서, 모든 다중 지수

\alpha

(

|\alpha|\leqslant k

)에 대해 약한 편미분

D^{\alpha}u

가 존재하고 이 역시

L^p(\Omega)

에 속하는 함수들의 집합으로 정의된다. 즉,

:

W^{k,p}(\Omega) = \left \{ u \in L^p(\Omega) : D^{\alpha}u \in L^p(\Omega) \,\, \forall |\alpha| \leqslant k \right \}.

여기서 자연수

k

를 소볼레프 공간

W^{k,p}(\Omega)

의 차수(order)라고 부른다.

W^{k,p}(\Omega)

공간에는 여러 가지 동등한 노름을 정의할 수 있다. 일반적으로 사용되는 두 가지 노름은 다음과 같다.

:

\| u \|_{W^{k, p}(\Omega)} := \begin{cases} \left( \sum_{|\alpha | \leqslant k} \left \| D^{\alpha}u \right \|_{L^p(\Omega)}^p \right)^{\frac{1}{p}} & 1 \leqslant p < \infty \\ \max_{| \alpha | \leqslant k} \left \| D^{\alpha}u \right \|_{L^{\infty}(\Omega)} & p = \infty \end{cases}

그리고

:

\| u \|'_{W^{k, p}(\Omega)} := \begin{cases} \sum_{| \alpha | \leqslant k} \left \| D^{\alpha}u \right \|_{L^{p}(\Omega)} & 1 \leqslant p < \infty \\ \sum_{| \alpha | \leqslant k} \left \| D^{\alpha}u \right \|_{L^{\infty}(\Omega)} & p = \infty \end{cases}

이 노름들은 서로 노름 동치 관계에 있으며, 이 중 어떤 노름을 사용하든

W^{k,p}(\Omega)

는 바나흐 공간이 된다. 만약

p<\infty

이면,

W^{k,p}(\Omega)

는 분리 가능 공간이기도 하다. 특히

p=2

인 경우,

W^{k,2}(\Omega)

는 힐베르트 공간이며,

H^k(\Omega)

로 표기하기도 한다.^[1]

1차원(

n=1

)의 경우, 소볼레프 공간

W^{k,p}(\R)

는

L^p(\R)

에 속하는 함수

f

중

k

차까지의 약한 도함수

f^{(i)}

(

i=0, \dots, k

)가 모두

L^p

노름을 가지는 함수들의 집합으로 정의할 수 있다. 이때 노름은 다음과 같이 정의된다.

:

\|f\|_{k,p} = \left (\sum_{i=0}^k \left \|f^{(i)} \right \|_p^p \right)^{\frac{1}{p}}

(

1 \le p < \infty

)

:

\|f\|_{k,\infty} = \max_{i=0,\ldots,k} \left \|f^{(i)} \right \|_\infty

(

p = \infty

)

1차원에서는

\|f^{(k)}\|_p + \|f\|_p

역시 위 노름과 동치인 노름이 된다.

소볼레프 공간의 함수는 정의만으로는 다루기 어려울 수 있다. 마이어스-세린 정리(Myers–Serrin theorem)에 따르면,

p

가 유한하고

\Omega

가 열린 집합일 때, 모든

u \in W^{k,p}(\Omega)

는

W^{k,p}(\Omega)

노름 하에서 매끄러운 함수열

u_m \in C^{\infty}(\Omega)

로 근사할 수 있다. 즉,

\left \| u_m - u \right \|_{W^{k,p}(\Omega)} \to 0

을 만족하는

u_m

이 존재한다. 만약

\Omega

가 립시츠 경계를 가지면, 근사 함수열

u_m

을

\R^n

전체에서 컴팩트 지지를 갖는 매끄러운 함수의 제한으로 선택할 수도 있다.^[2] 이 성질 덕분에 매끄러운 함수에 대해 성립하는 여러 결과를 소볼레프 함수로 확장할 수 있다.

W^{1,p}(\Omega)

공간의 함수는 추가적인 성질을 가진다. 함수

u \in W^{1,p}(\Omega)

는 측도 0인 집합에서 값을 적절히 수정하면,

\R^n

의 좌표축에 평행한 거의 모든 직선 위에서 절대 연속 함수가 된다. 또한, 이 직선들을 따라 계산된 고전적인 도함수는

L^p(\Omega)

에 속한다. 역으로, 만약 함수

f

가 좌표축에 평행한 거의 모든 직선 위에서 절대 연속이고,

f

와 그 점별 기울기

|\nabla f|

가 모두

L^p(\Omega)

에 속한다면,

f

는

W^{1,p}(\Omega)

에 속한다. 이 경우

f

의 약한 편미분과 점별 편미분은 거의 모든 곳에서 일치한다. 이러한 소볼레프 공간의 특성화를 ACL(Absolutely Continuous on Lines) 특성화라고 하며, 오토 M. 니코딤이 1933년에 정립했다.

만약

p>n

이라면 더 강력한 결과인 모레이 부등식(Morrey's inequality)이 성립한다.

W^{1,p}(\Omega)

에 속하는 함수는 (측도 0인 집합에서 수정 후) 지수

\gamma = 1 - n/p

를 갖는 홀더 연속 함수가 된다. 특히,

p=\infty

이고

\Omega

가 립시츠 경계를 가지면 함수는 립시츠 연속이다.

2. 2. 다양체 위의 소볼레프 공간

리만 다양체

(M,g)

, 확장된 실수

p\in[1,\infty]

, 양의 정수

s\in\mathbb Z^+

가 주어졌다고 하자.

M

위의 매끄러운 함수

f \in\mathcal C^\infty(M, \mathbb R)

에 대하여, 공변 미분

\nabla

을 이용하여 다음과 같은 노름을 정의할 수 있다.

:

\|f\|_{\operatorname W^{s,p}} = \int_M \left(|f|^p + (\partial_\mu f\partial^\mu f)^{p/2} + \dotsb + (\nabla_{\mu_1}\dotsm\nabla_{\mu_s}f\nabla^{\mu_1}\dotsm\nabla^{\mu_s}f)^{p/2}\right)\,\sqrt{\det g}\,\mathrm d^nx

\mathcal C^\infty(M, \mathbb R)

가운데 이 노름이 유한한 원소들의 공간은 실수 노름 공간을 이루지만, 완비 거리 공간은 아니다. 이 공간의 완비화인 실수 바나흐 공간을

M

위의 '''(''s'',''p'')차 소볼레프 공간'''

\operatorname W^{s,p}(M)

이라고 한다.^[14]

이 정의는

M

이 유클리드 공간의 열린집합일 경우, 유클리드 공간 위에서의 소볼레프 공간 정의와 동치이다. 이를 '''마이어스-세린 정리'''(Meyers–Serrin theorem^영어)라고 한다.^[15] 즉, 다양체 위의 소볼레프 공간 정의는 유클리드 공간에서의 정의를 일반화한 것으로 볼 수 있다.

2. 3. 벡터 다발 값 정수 차수 소볼레프 공간

다음과 같은 요소들이 주어졌다고 가정하자.

콤팩트 리만 다양체 $(M,g)$
매끄러운 벡터 다발 $E\twoheadrightarrow M$
$E$ 위의 벡터 다발 접속 $\nabla$
$E$ 위의 내적 $\eta \in \Gamma^\infty(E^* \otimes E^*)$
확장된 실수 $p\in[1,\infty]$
양의 정수 $k\in\mathbb Z^+$

이 요소들을 이용하여, 벡터 다발

E

의 단면(section)들로 이루어진 벡터 공간

\Gamma^p(E)

(이는

\mathcal C^p(M,E) \cap \Gamma^0(E)

로 정의됨) 위에 다음과 같은 노름

|s|_{p,k}

를 정의할 수 있다.

:

|s|_{p,k} = \left(\int_M\left(\sum_{i_1,\dotsc,i_p,j_1,\dotsc,j_p,a,b} g^{i_1j_1}\dotsb g^{i_pj_p} \eta_{ab} (\nabla_{i_1}\dotsb\nabla_{i_p} s^a) (\nabla_{j_1}\dotsb\nabla_{j_p} s^b)\right)^{k/2}\right)^{1/k}

이 노름은 벡터 다발 접속

\nabla

를 이용한 단면의 도함수와 내적

\eta

, 그리고 리만 계량

g

를 사용하여 정의된다.

특히,

k=2

인 경우, 이 노름은 다음과 같은 내적

\langle s|s'\rangle_{p,2}

과 호환된다.

:

\langle s|s'\rangle_{p,2} = \int_M\sum_{i_1,\dotsc,i_p,j_1,\dotsc,j_p,a,b} g^{i_1j_1}\dotsb g^{i_pj_p} \eta_{ab} (\nabla_{i_1}\dotsb\nabla_{i_p} s^a) (\nabla_{j_1}\dotsb\nabla_{j_p} {s'}^b)

이렇게 정의된 노름

|s|_{p,k}

에 대해 단면 공간

\Gamma^p(E)

를 완비화(completion)하여 얻어지는 바나흐 공간을 벡터 다발 값 정수 차수 소볼레프 공간이라 하고,

\operatorname W^{p,k}(E)

로 표기한다.

정의에 따라, 원래의 단면 공간은 소볼레프 공간의 부분 집합이 된다 (

\Gamma^p(E) \subseteq \operatorname W^{p,2}(E)

). 또한, 소볼레프 부등식의 일종으로, 음이 아닌 정수

q

에 대해 만약

p > (\dim M)/2 + q

라는 조건이 만족되면, 소볼레프 공간

\operatorname W^{p,2}(E)

에서

q

번 연속 미분 가능한 단면 공간

\Gamma^q(E)

로 가는 연속적인 포함 사상(continuous inclusion map)이 존재한다.^[16] 즉, 충분히 높은 차수의 소볼레프 공간에 속하는 단면은 실제로 충분히 매끄러운 함수가 된다.

:

\operatorname W^{p,2}(E) \hookrightarrow \Gamma^q(E)

2. 4. 분수 소볼레프 공간

유클리드 공간

\mathbb R^n

이나 원환면

\mathbb T^n

의 경우 푸리에 변환을 사용하여, 정수가 아닌 실수

s

에 대하여 소볼레프 공간

\operatorname W^{s,p}

를 정의할 수 있다. 이는 크게 두 가지 주요 접근 방식으로 이루어진다.

첫 번째 접근 방식은 베셀 포텐셜 공간을 정의하는 것이다. 푸리에 승수를 이용하여^[3]^[4] 정수

k

와

1 < p < \infty

에 대해 공간

W^{k,p}(\R^n)

을 다음과 같이 동등하게 정의할 수 있다.

:

W^{k,p}(\R^n) = H^{k,p}(\R^n) := \Big \{f \in L^p(\R^n) : \mathcal{F}^{-1} \Big[\big(1 + |\xi|^2\big)^{\frac{k}{2}}\mathcal{F}f \Big] \in L^p(\R^n) \Big \},

이때 노름은 다음과 같다.

:

\|f\|_{H^{k,p}(\R^n)} := \left\| \mathcal{F}^{-1} \Big[ \big(1 + |\xi|^2\big)^{\frac{k}{2}} \mathcal{F}f \Big] \right\|_{L^p(\R^n)}.

이 정의에서 정수

k

를 임의의 실수

s

로 대체하여 비정수 차수의 소볼레프 공간을 정의할 수 있다.

:

H^{s,p}(\R^n) := \left \{f \in \mathcal S'(\R^n) : \mathcal{F}^{-1} \left [\big(1 + |\xi|^2 \big)^{\frac{s}{2}}\mathcal{F}f \right ] \in L^p(\R^n) \right \}

여기서

\mathcal S'(\R^n)

는 완만한 분포의 공간이다. 이 공간은 프리드리히 베셀의 이름을 따서 베셀 포텐셜 공간^[5]이라고 불리며, 일반적으로 바나흐 공간이고, 특히

p = 2

인 경우에는 힐베르트 공간이다.

s \geq 0

에 대해, 열린 집합

\Omega \subseteq \R^n

위의 공간

H^{s,p}(\Omega)

는

H^{s,p}(\R^n)

의 함수를

\Omega

에 제한한 함수들의 집합으로 정의되며, 노름은 다음과 같다.

:

\|f\|_{H^{s,p}(\Omega)} := \inf \left \{\|g\|_{H^{s,p}(\R^n)} : g \in H^{s,p}(\R^n), g|_{\Omega} = f \right \} .

H^{s,p}(\Omega)

역시 바나흐 공간이며,

p = 2

인 경우에는 힐베르트 공간이다. 소볼레프 공간에 대한 확장 정리에 따르면,

\Omega

가 충분히 좋은 경계(예: 균일한

C^k

경계)를 가지고

k

가 자연수,

1 < p < \infty

이면,

W^{k,p}(\Omega) = H^{k,p}(\Omega)

가 동등한 노름의 의미에서 성립한다. 임베딩 정리에 의해 다음과 같은 연속적인 포함 관계가 성립한다.

:

H^{k+1,p}(\R^n) \hookrightarrow H^{s',p}(\R^n) \hookrightarrow H^{s,p}(\R^n) \hookrightarrow H^{k,p}(\R^n), \quad k \leqslant s \leqslant s' \leqslant k+1

이는 베셀 포텐셜 공간

H^{s,p}(\R^n)

이 정수 차수 소볼레프 공간

W^{k,p}(\R^n)

사이에 연속적인 척도를 형성함을 의미한다.

두 번째 접근 방식은 소볼레프-슬로보데츠키 공간을 정의하는 것으로, 횔더 조건을

L^p

설정으로 일반화하는 아이디어에서 비롯된다.^[6]

1 \leqslant p < \infty, \theta \in (0, 1)

및

f \in L^p(\Omega)

에 대해, 슬로보데츠키 세미노름은 다음과 같이 정의된다.

:

[f]_{\theta, p, \Omega} :=\left(\int_{\Omega} \int_{\Omega} \frac{|f(x)-f(y)|^p}{|x-y|^{\theta p + n}} \; dx \; dy \right )^{\frac{1}{p}}.

s > 0

를 정수가 아닌 실수로 두고

\theta = s - \lfloor s \rfloor \in (0,1)

로 설정하면 (

\lfloor s \rfloor

는

s

의 정수 부분), 소볼레프-슬로보데츠키 공간^[7]

W^{s,p}(\Omega)

는 다음과 같이 정의된다.

:

W^{s,p}(\Omega) := \left\{f \in W^{\lfloor s \rfloor, p}(\Omega) : \sup_{|\alpha| = \lfloor s \rfloor} [D^\alpha f]_{\theta, p, \Omega} < \infty \right\}.

여기서

D^\alpha f

는

f

의

\alpha

차 약한 미분이다. 이 공간은 다음 노름에 대해 바나흐 공간이다.

:

\|f \| _{W^{s, p}(\Omega)} := \|f\|_{W^{\lfloor s \rfloor,p}(\Omega)} + \sup_

3. 성질

일반적으로

s, p \ge 1

일 때, 소볼레프 공간

\operatorname W^{s,p}(M;\mathbb K)

는

\mathbb K

-바나흐 공간이다. 특히

p=2

인 경우, 이는

\mathbb K

-힐베르트 공간이 된다. 만약

p=\infty

이면,

\operatorname W^{s,p}(M;\mathbb K)

는 바나흐 공간이지만 분해 가능하지 않다.

p<\infty

일 때,

W^{k,p}(\Omega)

는 분리 가능 공간이다.

W^{k,2}(\Omega)

는 흔히

H^k(\Omega)

로 표기하며, 이는 노름

\| \cdot \|_{W^{k, 2}(\Omega)}

을 갖춘 힐베르트 공간이다.^[1]

소볼레프 공간의 중요한 성질 중 하나는 매끄러운 함수로 근사할 수 있다는 점이다. 마이어스-세린 정리에 따르면,

p

가 유한하고

\Omega

가 열린 부분 집합일 때, 모든

u \in W^{k,p}(\Omega)

에 대해

W^{k,p}(\Omega)

노름에서

u

로 수렴하는 매끄러운 함수열

u_m \in C^{\infty}(\Omega)

이 존재한다. 만약

\Omega

가 립시츠 경계를 가지면,

u_m

을

\R^n

전체에서 컴팩트 지지를 갖는 매끄러운 함수의 제한으로 선택할 수도 있다.^[2] 이 성질은 매끄러운 함수에 대해 성립하는 많은 성질들을 소볼레프 함수로 확장하는 데 유용하게 사용된다.

소볼레프 공간의 함수가 항상 연속 함수인 것은 아니다. 예를 들어, 3차원 단위 구

\mathbb{B}^3

에서 함수

|x|^{-1}

는

W^{1,1}(\mathbb{B}^3)

에 속하지만 원점에서 연속이 아니다. 하지만 특정 조건, 예를 들어

k > n/p

이면, 공간

W^{k,p}(\Omega)

는 연속 함수만을 포함한다. 더 나아가

p>n

일 때

W^{1,p}(\Omega)

에 속하는 함수는 (측도 0인 집합에서 값을 수정한 후) 모레이 부등식에 의해 지수

\gamma = 1 - n/p

를 갖는 홀더 연속 함수가 된다. 특히

p=\infty

이고

\Omega

가 립시츠 경계를 가지면 함수는 립시츠 연속이다.

오토 M. 니코딤이 정립한 ACL(Absolutely Continuous on Lines) 특성화에 따르면,

W^{1,p}(\Omega)

에 속하는 함수는 (측도 0인 집합에서 수정 후)

\R^n

의 좌표축에 평행한 거의 모든 직선 위에서 절대 연속 함수가 된다. 이 경우, 고전적인 의미의 편도함수가 거의 모든 곳에서 존재하며, 이는 약한 도함수와 일치하고

L^p(\Omega)

에 속한다.

특히 중요한 경우는 힐베르트 공간인

H^1(\Omega) = W^{1,2}(\Omega)

이다. 이 공간의 중요한 부분 공간으로

H^1_0(\Omega)

가 있는데, 이는

\Omega

안에서 컴팩트 지지를 갖는 무한히 미분 가능한 함수들의

H^1(\Omega)

에서의 폐포로 정의된다. 만약

\Omega

가 유계이고 경계가 충분히 매끄럽다면(

\Omega

가 정규 경계를 가질 때),

H^1_0(\Omega)

는 경계에서 값이 0이 되는

H^1(\Omega)

함수들의 공간으로 해석될 수 있다.

\Omega

가 유계일 때,

H^1_0(\Omega)

에서

L^2(\Omega)

로의 포함 사상은 콤팩트 연산자이다. 이 사실은 디리클레 문제를 연구하고, 라플라스 연산자의 고유함수로 구성된

L^2(\Omega)

의 정규 직교 기저의 존재성을 보이는 데 중요한 역할을 한다.

3. 1. 연산에 대한 닫힘

임의의 리만 다양체

M

에 대하여,

\operatorname W^{k,\infty}(M)

에 속하는 함수들은 점별 덧셈과 곱셈에 대해 닫혀 있다. 이는 L^∞과 유사한 성질이다.

반면,

p<\infty

일 때

\operatorname W^{k,p}(M)

은 덧셈에 대해서는 닫혀 있지만, 곱셈에 대해서는 닫혀 있지 않다. 이 역시 L^p과 같다. 예를 들어, 원점에서

|x|^{-1/3}

처럼 행동하는 함수는

L^2

공간에 속하지만, 이러한 함수 두 개를 곱하면 더 이상

L^2

공간에 속하지 않는다.

모든 소볼레프 공간

W^{k,\infty}

는 점별 곱셈 연산에 대해 닫혀 있으므로 대수(algebra) 구조를 이룬다. 즉,

W^{k,\infty}

에 속하는 두 함수의 곱은 다시

W^{k,\infty}

에 속한다. 하지만

p<\infty

인 경우에는 이러한 성질이 성립하지 않는다.

3. 2. 포함 관계

다음과 같은 '''소볼레프 부등식'''(Sobolev inequality^영어)이 성립한다. 임의의

:

s,s'\in\mathbb N

:

p,p'\in[1,\infty)

에 대하여, 만약

:

\frac1p - \frac sn = \frac1{p'}-\frac{s'}n

:

p \le p'

:

s \ge s'

이라면, 다음과 같은 포함 관계가 존재하며, 이 포함 관계는 연속 단사 선형 변환이다.

:

\operatorname W^{s,p}(\mathbb R^n) \subseteq \operatorname W^{s',p'}(\mathbb R^n)

특히, 만약

s=1

이며

s'=0

일 경우

:

\operatorname W^{1,p}(\mathbb R^n) \subseteq \operatorname L^{np/(n-p)}(\mathbb R^n)

이다.

''n''차원 콤팩트 리만 다양체 위의 소볼레프 공간 ''W''^''k'',''p''를 생각해보자. 여기서 ''k''는 임의의 실수값을 가질 수 있으며, 1 ≤ ''p'' ≤ ∞이다 (''p'' = ∞에 대한 소볼레프 공간 ''W''^''k'',∞는 홀더 공간 ''C''^''n'',α로 정의된다. 여기서 ''k'' = ''n'' + α, 0 < α ≤ 1이다). 소볼레프 매립 정리는 만약 ''k'' ≥ ''m''이고 ''k'' - ''n''/''p'' ≥ ''m'' - ''n''/''q''이면

:

W^{k,p}\subseteq W^{m,q}

이고, 이 매립(embedding)은 연속이라는 것을 말한다. 더 나아가 ''k'' > ''m''이고 ''k'' - ''n''/''p'' > ''m'' - ''n''/''q''이면 이 매립은 완전 연속이 된다 (이것은 종종 '''콘드라쇼프 정리'''라고 불린다). ''W''^''m'',∞에 속하는 함수는 ''m''보다 작은 계수에서 연속인 도함수를 가지므로, 이 정리는 특히 어떤 소볼레프 공간의 함수들이 연속 도함수를 가지는지에 대한 조건을 제공한다.

'''R'''^''n''과 같이 비콤팩트 다양체에 대해서도 매립 정리와 유사한 결과가 존재한다.

3. 3. 푸앵카레-비르팅거 부등식

확장된 실수

1\le p\le\infty

와 유계이면서 연결된 열린집합

U\subseteq\mathbb R^n

가 주어졌다고 가정하자. 또한,

U

의 경계

\partial U

가 립시츠 경계라고 하자.

이러한 조건 하에서, W^1,p(U)에 속하는 모든 함수

f

에 대해 다음 부등식을 만족시키는 상수

C(p,U)

가 존재한다.

:

\left\|f-\frac1{\operatorname{vol}(U)}\int_Uf(x)\,\mathrm d^nx\right\|_{\operatorname L^p(U)}\le C(p,U)\|\nabla f\|_{\operatorname L^p(U)}

여기서

\frac1{\operatorname{vol}(U)}\int_Uf(x)\,\mathrm d^nx

는 함수

f

의 집합

U

에서의 평균값을 나타낸다. 즉, 이 부등식은 함수와 그 평균값의 차이(L^p 노름 기준)가 함수의 기울기(

\nabla f

)의 크기(L^p 노름 기준)에 의해 제한됨을 보여준다.

이 부등식을 '''푸앵카레-비르팅거 부등식'''(Poincaré–Wirtinger inequality^영어)이라고 부른다. 이 부등식을 만족시키는 가장 작은 상수

C(p,U)

를 '''푸앵카레 상수'''(Poincaré constant^영어)라고 한다. 푸앵카레-비르팅거 부등식은 소볼레프 공간의 중요한 성질 중 하나이다.

4. 예

소볼레프 공간 $W^{k,p}(D)$ 가 연속 함수만을 포함하는지 여부는 차원 $n$ , 미분 차수 $k$ , 적분 지수 $p$ 에 따라 달라진다. 구체적으로 $k > n/p$ 조건을 만족하면 $W^{k,p}(D)$ 는 연속 함수만으로 구성된다.

예를 들어, $n$ 차원 단위 구 $\mathbf{B}^n$ 위에 정의된 함수 $f: \mathbf{B}^n \to \mathbb{R} \cup \{+\infty\}$ 를 다음과 같이 생각해보자.

: $f(x) = \frac{1}$

4. 1. 르베그 공간

소볼레프 공간

\operatorname W^{s,p}

에서, 만약

s=0

이라면 (즉, 매끄러움에 대한 조건을 가하지 않는다면) 이는 르베그 공간과 같다.

:

\operatorname W^{0,p} = \operatorname L^p

4. 2. 절대 연속 함수의 공간

실수선

\mathbb R

의 구간

I

에서, (1,1)차 소볼레프 공간은 절대 연속 함수의 공간과 같다.

:

\operatorname W^{1,1}(I) = \mathcal C^0_\text{abs}(I)

이는 절대 연속성이 ①거의 어디서나 미분이 존재하며 ②미분의 절댓값이 적분 가능 함수인 것과 동치이기 때문이다.

정확히 말하면, (1,1)차 소볼레프 공간의 원소는 어떤 절대 연속 함수와 거의 어디서나 일치하는 가측 함수들의 동치류들의 공간이다. 그러나 이러한 동치류에서는 절대 연속 함수인 유일한 대표원을 고를 수 있으므로, 이는 함수의 공간과 동치로 간주할 수 있다.

이러한 등가는 1차원에서만 성립한다. 고차원 공간 위의 (1,1)차 소볼레프 공간은 연속 함수가 아닌 함수들을 포함할 수 있다. 예를 들어, 함수

(x\mapsto\|x\|^{-1})

는 3차원 공

\mathbb B^3

위에서

\operatorname W^{1,1}(\mathbb B^3)

에 속하지만 원점에서 연속이 아니다.

절대 연속 함수와 관련된 다른 소볼레프 공간의 예로는 열린 구간 (0, 1) 상에서 절대 연속인 함수 전체로 구성된 공간

W^{1,1}(0, 1)

이나, 임의의 구간

I

상에서 립시츠 연속인 함수 전체로 구성된 공간

W^{1,\infty}(I)

등이 있다.

보다 일반적으로, 함수가

W^{1,p}(\Omega)

(여기서

\Omega

는 '''R'''^''n''의 열린 집합이고

1\leqslant p \leqslant \infty

)에 속한다면, 측도가 0인 집합에서 함수 값을 적절히 수정하여,

\R^n

의 좌표축에 평행한 거의 모든 직선에 대한 제한(restriction)이 절대 연속이 되도록 만들 수 있다. 이를 ACL(Absolutely Continuous on Lines) 특성이라고 한다. 반대로, 만약 함수

f

를 좌표축에 평행한 거의 모든 직선으로 제한했을 때 절대 연속이고, 점별 기울기

\nabla f

가 거의 모든 곳에서 존재하며

f, |\nabla f| \in L^p(\Omega)

이면, 함수

f

는

W^{1,p}(\Omega)

에 속한다. 이 경우

f

의 약한 편미분과 점별 편미분은 거의 모든 곳에서 일치한다. 소볼레프 공간의 이러한 ACL 특성화는 오토 M. 니코딤에 의해 정립되었다.

4. 3. 립시츠 연속 함수의 공간

1차원 실수 구간 ''I''에서, 소볼레프 공간 ''W''^1,∞(''I'')는 유계 립시츠 연속 함수의 공간과 같다. 이는 립시츠 연속성이 ①거의 어디서나 미분이 존재하며 ②미분이 (거의 어디서나) 유계 함수인 것과 동치이기 때문이다.

정확히 말하면, ''W''^1,∞(''I'')의 원소는 어떤 립시츠 연속 함수와 거의 어디서나 일치하는 가측 함수들의 동치류들의 공간이다. 그러나 이러한 동치류에서는 립시츠 연속 함수인 유일한 대표원을 고를 수 있으므로, 함수의 공간으로 간주할 수 있다.

더 일반적으로, ''p'' > ''n''일 때, ''W''^1,''p''(Ω)에 속하는 함수는, 측도가 0인 집합에서 수정한 후, 모레이 부등식에 의해 지수 γ = 1 − ''n''/''p''의 홀더 연속이 된다. 특히, ''p'' = ∞이고 Ω가 립시츠 경계를 갖는다면, 함수는 립시츠 연속이다.

또한, Ω를 '''R'''^''n''의 열린 집합이라 할 때, ''W''^1,∞(Ω)에 속하는 함수는 측도 0인 집합에서 값을 변경함으로써 국소 립시츠 함수로 만들 수 있다.^[2]

모든 공간 ''W''^''k'',∞은 노름을 갖춘 대수이다. 즉, 두 원소의 곱은 다시 이 소볼레프 공간의 함수가 되는데, 이는 ''p'' < ∞인 경우에는 성립하지 않는다. (예를 들어, 원점에서 |''x''|^−1/3처럼 동작하는 함수는 ''L''²에 속하지만, 그러한 두 함수의 곱은 ''L''²에 속하지 않는다.)

5. 확장

소볼레프 공간의 기본 개념은 다양한 방향으로 확장될 수 있다. 이러한 확장은 편미분 방정식의 해를 더 깊이 이해하고 다양한 함수 공간 사이의 관계를 규명하는 데 중요한 역할을 한다.

주요 확장 방향은 다음과 같다.

경계값: 소볼레프 공간에 속하는 함수가 정의된 영역의 경계에서 어떤 값을 갖는지 정의하는 문제가 있다. 일반적인 소볼레프 함수는 경계에서 잘 정의되지 않을 수 있으므로, 트레이스 정리(Trace theorem)를 통해 경계에서의 값을 엄밀하게 다룬다. 이는 경계값 문제의 해를 분석하는 데 필수적이다. (자세한 내용은 트레이스 섹션 참조)
비정수 차수로의 확장: 소볼레프 공간의 차수 ''k''를 정수뿐만 아니라 실수 ''s'' ≥ 0으로 확장할 수 있다. 이는 푸리에 변환을 이용하거나(베셀 포텐셜 공간), 함수 값의 차이를 이용한 적분(소볼레프-슬로보데츠키 공간)을 통해 정의된다. 비정수 차수 공간은 정수 차수 공간 사이를 '보간'하며, 더 미세한 함수의 성질을 분석할 수 있게 해준다. (자세한 내용은 베셀 포텐셜 공간 및 소볼레프-슬로보데츠키 공간 섹션 참조)
다른 공간으로의 임베딩: 소볼레프 임베딩 정리는 소볼레프 공간 $W^{k,p}(\Omega)$ 가 어떤 조건 하에서 다른 소볼레프 공간 $W^{m,q}(\Omega)$ 나 연속 함수 공간 $C^k(\Omega)$ , Lp 공간 $L^q(\Omega)$ 등에 포함되는지를 설명한다. 이는 함수의 ''L^p'' 적분 가능성 정보로부터 함수의 매끄러움(연속성, 미분 가능성 등)에 대한 정보를 얻는 중요한 도구이다. (자세한 내용은 소볼레프 임베딩 섹션 참조)
영으로의 확장: 영역 $\Omega$ 에 정의된 소볼레프 함수를 전체 공간 $\R^n$ 으로 확장하는 문제도 중요하다. 특정 조건 하에서 함수의 소볼레프 노름을 크게 증가시키지 않으면서 확장하는 연산자가 존재한다. (자세한 내용은 영으로의 확장 섹션 참조)

이러한 확장된 개념들은 소볼레프 공간 이론을 더욱 풍부하게 만들고, 함수해석학, 편미분 방정식, 조화 해석학, 기하학 등 다양한 수학 및 응용 분야에서 널리 사용된다. 각 확장 개념에 대한 자세한 내용은 관련된 하위 섹션에서 다룬다.

5. 1. 트레이스 (Trace)

편미분 방정식 등을 연구할 때 소볼레프 공간에 속하는 함수의 경계값을 다루어야 하는 경우가 많다. 만약 함수

u

가 영역

\Omega

의 폐포

\overline{\Omega}

에서 연속이라면(

u\in C(\overline{\Omega})

), 경계

\partial\Omega

에서의 값은 단순히 함수를 경계에 제한한

u|_{\partial\Omega}

로 정의할 수 있다. 하지만 일반적인 소볼레프 공간의 함수

u\in W^{k,p}(\Omega)

는 경계에서 잘 정의되지 않을 수 있으며, 특히 경계

\partial\Omega

는 보통 측도 0인 집합이므로 경계에서의 값을 정의하기가 까다롭다. 이러한 문제를 해결하기 위해 트레이스 정리(Trace theorem)가 도입되었다.

=== 트레이스 정리 ===

\Omega

가 립시츠 경계를 가진 유계 영역이라고 가정하자. 그러면 다음과 같은 성질을 만족하는 유계 선형 연산자

T: W^{1,p}(\Omega)\to L^p(\partial\Omega)

가 존재한다.

# 만약 함수

u

가

W^{1,p}(\Omega)

에 속하면서 동시에

\overline{\Omega}

에서 연속이라면(

u\in W^{1,p}(\Omega)\cap C(\overline{\Omega})

),

Tu

는 단순히 함수

u

를 경계

\partial\Omega

로 제한한 것과 같다:

#:

Tu = u|_{\partial\Omega}

# 모든

u\in W^{1,p}(\Omega)

에 대해 다음 부등식이 성립한다. 즉, 연산자

T

는 유계이다:

#:

\|Tu\|_{L^p(\partial\Omega)}\leqslant c(p,\Omega)\|u\|_{W^{1,p}(\Omega)}

# 여기서

c(p,\Omega)

는

p

와 영역

\Omega

에만 의존하는 상수이다.

이때

Tu

를 함수

u

의 트레이스(trace)라고 부른다. 이는 행렬 이론의 대각합(trace)과는 다른 개념이다. 트레이스 정리는 잘 정의된 영역

\Omega

에 대해, 경계로의 제한 연산을 소볼레프 공간

W^{1,p}(\Omega)

전체로 확장할 수 있음을 보여준다.

트레이스 연산자

T

는 일반적으로 전사적이지 않다. 즉,

L^p(\partial\Omega)

에 있는 모든 함수가 어떤

W^{1,p}(\Omega)

함수의 트레이스가 되는 것은 아니다. 하지만

1 < p < \infty

일 때, 트레이스 연산자

T

는 소볼레프-슬로보데츠키 공간

W^{1-\frac{1}{p},p}(\partial\Omega)

위로는 전사 함수가 된다.

직관적으로 트레이스를 취하는 과정은 함수의 매끄러움(미분 가능성)을 약간 "손실"시킨다고 볼 수 있다.

W^{1,p}(\Omega)

공간의 경우, 트레이스를 취하면 미분 가능성이

1/p

만큼 줄어든다고 해석할 수 있다. 특히 힐베르트 공간인

H^s(\Omega) = W^{s,2}(\Omega)

(

s > 1/2

)의 경우, 트레이스 사상

P: H^s(\Omega) \to H^{s-1/2}(\partial\Omega)

가 존재하며, 이 경우 미분 가능성이 정확히

1/2

만큼 줄어든다.

W^{s,p}(\Omega)

공간의 트레이스에 대한 상(image)은 일반적으로 베소프 공간으로 알려져 있다.

=== 트레이스가 0인 공간 ===

트레이스 개념을 사용하여 경계에서 0의 값을 갖는 함수 공간을 정의할 수 있다. 공간

W_0^{1,p}(\Omega)

는 트레이스가 0인

W^{1,p}(\Omega)

함수들의 집합으로 정의된다:

:

W_0^{1,p}(\Omega) = \left \{u\in W^{1,p}(\Omega): Tu=0 \right \}

이 공간은 다른 방식으로도 특징지을 수 있다.

C_c^\infty(\Omega)

를

\Omega

안에서 콤팩트 지지를 갖는 무한번 미분 가능한 함수들의 공간이라고 할 때,

W_0^{1,p}(\Omega)

는

C_c^\infty(\Omega)

의

W^{1,p}(\Omega)

노름에서의 폐포와 같다:

:

W_0^{1,p}(\Omega) = \overline{C_c^\infty(\Omega)}^{W^{1,p}(\Omega)}

이는 립시츠 경계를 가진 유계 영역

\Omega

에 대해, 트레이스가 0인 함수는 콤팩트 지지를 갖는 매끄러운 함수들을 사용하여

W^{1,p}(\Omega)

노름으로 근사할 수 있음을 의미한다.

특히

p=2

인 경우,

H^1(\Omega) = W^{1,2}(\Omega)

이고

H_0^1(\Omega) = W_0^{1,2}(\Omega)

이다.

\Omega

가 충분히 좋은 경계(예: 립시츠 경계)를 가질 때,

H_0^1(\Omega)

는 경계에서 트레이스 의미로 0이 되는

H^1(\Omega)

함수들의 공간으로 정확히 설명된다. 이 공간은 푸앵카레 부등식이 성립하고 디리클레 경계값 문제를 다룰 때 중요한 역할을 한다.

5. 2. 영으로의 확장

함수

f \in L^p(\Omega)

에 대해, 0에 의한 확장은 다음과 같이 정의되는

Ef \in L^p(\R^n)

이다.

:

Ef(x) := \begin{cases} f(x) & x \in \Omega, \\ 0 & x \notin \Omega \end{cases}

이 확장은

L^p

노름을 보존한다. 즉,

:

\| Ef \|_{L^p(\R^n)}= \| f \|_{L^p(\Omega)}.

그러나

1 \le p \le \infty

인 소볼레프 공간

W^{1,p}(\Omega)

의 경우, 함수

u \in W^{1,p}(\Omega)

를 0으로 확장하는 것이 반드시

W^{1,p}(\R^n)

의 원소를 생성하지는 않는다.

만약

\Omega

가 립시츠 경계(예:

\partial\Omega

가

C^1

)를 갖는 유계 집합이라면,

\Omega

를 컴팩트하게 포함하는(

\Omega \subset\subset O

) 유계 열린 집합

O

에 대해, 유계 선형 연산자^[2]가 존재한다.

:

E: W^{1,p}(\Omega)\to W^{1,p}(\R^n)

이 연산자는 각

u\in W^{1,p}(\Omega)

에 대해 다음 조건을 만족한다.

$\Omega$ 에서 거의 모든 곳에서 $Eu = u$ 이다.
$Eu$ 는 $O$ 내에서 컴팩트 지지(compact support)를 갖는다.
$p$ , $\Omega$ , $O$ 및 차원 $n$ 에만 의존하는 상수 $C$ 가 존재하여 다음 부등식이 성립한다.

:

\| Eu \|_{W^{1,p}(\R^n)}\leqslant C \|u\|_{W^{1,p}(\Omega)}.

Eu

를

\R^n

으로의

u

의 확장이라고 부른다.

한편, 공간

H^s_0(\Omega)

는 무한히 미분 가능하고 컴팩트 지지를 갖는 함수 공간

C^\infty_c(\Omega)

의

H^s(\Omega)

에서의 폐포(closure)로 정의된다. 만약

u \in H^s_0(\Omega)

이면, 그 '''0에 의한 확장'''

\tilde u \in L^2(\R^n)

을 자연스럽게 정의할 수 있다.

:

\tilde u(x)= \begin{cases} u(x) & x \in \Omega \\ 0 & \text{else} \end{cases}

s > \tfrac{1}{2}

일 때, 사상

u \mapsto \tilde u

가

H^s(\R^n)

으로 연속일 필요충분조건은

s

가 정수

n

에 대해

n + \tfrac{1}{2}

형태가 아닌 것이다.

5. 3. 소볼레프 임베딩

소볼레프 공간에 속하는 함수가 연속적인지, 더 나아가 연속적으로 미분 가능한지 알아보는 것은 자연스러운 질문이다. 대략적으로 말하면, 충분히 많은 약한 도함수(즉, 큰 ''k'')를 가지면 고전적인 의미의 미분이 가능해진다. 이러한 아이디어는 소볼레프 임베딩 정리에서 일반화되고 더 정확하게 설명된다.

차원이 ''n''인 어떤 콤팩트 리만 다양체의 소볼레프 공간을

W^{k,p}

로 표기하자. 여기서 ''k''는 임의의 실수일 수 있으며, 1 ≤ ''p'' ≤ ∞이다. (''p'' = ∞인 경우, 소볼레프 공간

W^{k,\infty}

는 횔더 공간 ''C''^''n'',α로 정의되며, 여기서 ''k'' = ''n'' + α이고 0 < α ≤ 1이다.) 소볼레프 임베딩 정리는 만약

k \geqslant m

이고

k - \tfrac{n}{p} \geqslant m - \tfrac{n}{q}

이면,

:

W^{k,p}\subseteq W^{m,q}

이며, 이 포함 관계(임베딩)는 연속적이라고 말한다. 또한, 만약

k > m

이고

k - \tfrac{n}{p} > m - \tfrac{n}{q}

이면 임베딩은 완전히 연속적이다. 이것은 때때로 콘드라쇼프 정리 또는 Rellich–Kondrachov 정리라고도 불린다.

W^{m,\infty}

에 속하는 함수는 ''m''보다 작은 모든 차수의 도함수가 연속적이므로, 이 정리는 특히 어떤 조건에서 소볼레프 공간의 함수가 연속적인 도함수를 가지는지 알려준다. 비공식적으로 이러한 임베딩은 ''L^p''에서의 정보(적분 가능성)를 함수의 매끄러움(연속성, 미분 가능성 등)에 대한 정보로 변환할 때, 차원 ''n''과 ''p'' 값에 따라 '비용'이 발생한다는 것을 의미한다. 즉,

k - n/p

값이 클수록 함수는 더 좋은 공간(

W^{m,q}

에서

m - n/q

값이 더 작은 공간)에 포함된다.

\R^n

과 같은 비콤팩트 다양체에 대한 임베딩 정리의 유사한 변형도 존재한다. 콤팩트하지 않은

\R^n

에서의 소볼레프 임베딩은 종종 관련된 약한 속성인 공콤팩트성을 가진다. 구체적인 부등식 형태는 소볼레프 부등식 섹션에서 더 자세히 다룬다.

5. 3. 1. 소볼레프 부등식

다음과 같은 '''소볼레프 부등식'''(Sobolev inequality^영어)이 성립한다. 임의의 자연수

s, s' \in \mathbb N

와 실수

p, p' \in [1, \infty)

에 대하여, 만약 다음 세 조건

:

\frac{1}{p} - \frac{s}{n} = \frac{1}{p'} - \frac{s'}{n}

:

p \le p'

:

s \ge s'

이 모두 성립한다면, 소볼레프 공간

\operatorname W^{s,p}(\mathbb R^n)

은

\operatorname W^{s',p'}(\mathbb R^n)

의 부분 집합이 된다. 즉, 다음과 같은 포함 관계가 존재하며, 이 포함 관계는 연속적이고 단사적인 선형 변환이다.

:

\operatorname W^{s,p}(\mathbb R^n) \subseteq \operatorname W^{s',p'}(\mathbb R^n)

특히, 만약

s=1

이고

s'=0

일 경우 (즉, 1차 약한 도함수가

L^p

에 속하는 함수 공간을 고려할 때), 위 조건은

\frac{1}{p} - \frac{1}{n} = \frac{1}{p'}

(단,

p \le p'

) 이 된다. 이 경우

p' = \frac{np}{n-p}

이며 (

p < n

일 때 정의됨), 포함 관계는 다음과 같다.

:

\operatorname W^{1,p}(\mathbb R^n) \subseteq \operatorname L^{np/(n-p)}(\mathbb R^n)

여기서

\operatorname W^{0, p'}(\mathbb R^n)

은

L^{p'}(\mathbb R^n)

과 같다. 이는

\mathbb R^n

상의 어떤 함수가 1차 약한 도함수와 함께

L^p

노름으로 유한하다면, 그 함수 자체는 더 큰 지수

p' = np/(n-p)

를 갖는

L^{p'}

공간에 속한다는 것을 의미한다.

이러한 소볼레프 공간 사이의 포함 관계 및 부등식은 소볼레프 임베딩 정리의 핵심적인 내용이다. 소볼레프 임베딩 정리는 함수의 매끄러움(얼마나 많이 미분 가능한지, 즉

s

의 크기)과 L^p 공간에서의 적분 가능성(즉,

p

의 크기) 사이의 관계를 보여준다. 위 부등식의 조건

\frac{1}{p} - \frac{s}{n} = \frac{1}{p'} - \frac{s'}{n}

(또는

s - \frac{n}{p} = s' - \frac{n}{p'}

)은 함수 공간

W^{s,p}

가 다른 함수 공간

W^{s',p'}

에 포함되기 위한 조건을 나타낸다. 이는 함수의 미분 가능성(

s

)과 적분 가능성(

p

) 정보가 어떻게 다른 공간(

W^{s',p'}

)에서의 정보로 변환될 수 있는지를 정량적으로 보여주는 중요한 결과이다.

5. 4. 베셀 포텐셜 공간 (Bessel Potential Spaces)

자연수 ''k''와

1 < p < \infty

에 대해 (푸리에 승수를 사용하여^[3]^[4]) 공간

W^{k,p}(\mathbb{R}^n)

은 다음과 같이 동등하게 정의될 수 있다.

:

W^{k,p}(\mathbb{R}^n) = H^{k,p}(\mathbb{R}^n) := \Big \{f \in L^p(\mathbb{R}^n) : \mathcal{F}^{-1} \Big[\big(1 + |\xi|^2\big)^{\frac{k}{2}}\mathcal{F}f \Big] \in L^p(\mathbb{R}^n) \Big \},

이때 노름은 다음과 같다.

:

\|f\|_{H^{k,p}(\mathbb{R}^n)} := \left\| \mathcal{F}^{-1} \Big[ \big(1 + |\xi|^2\big)^{\frac{k}{2}} \mathcal{F}f \Big] \right\|_{L^p(\mathbb{R}^n)}.

이 정의는 위 정의에서 정수 ''k''를 실수 ''s''로 대체하여 비정수 차수의 소볼레프 공간을 정의하는 데 동기를 부여한다. 결과 공간은 다음과 같이 정의된다.

:

H^{s,p}(\mathbb{R}^n) := \left \{f \in \mathcal{S}'(\mathbb{R}^n) : \mathcal{F}^{-1} \left [\big(1 + |\xi|^2 \big)^{\frac{s}{2}}\mathcal{F}f \right ] \in L^p(\mathbb{R}^n) \right \}

이 공간은 프리드리히 베셀의 이름을 따서 베셀 포텐셜 공간^[5]이라고 한다. 이들은 일반적으로 바나흐 공간이며, 특히 ''p'' = 2인 경우에는 힐베르트 공간이다.

s \geqslant 0

일 때, 유계 영역

\Omega \subset \mathbb{R}^n

에 대한 공간

H^{s,p}(\Omega)

는

H^{s,p}(\mathbb{R}^n)

의 함수를

\Omega

에 제한한 집합으로 정의되며, 노름은 다음과 같다.

:

\|f\|_{H^{s,p}(\Omega)} := \inf \left \{\|g\|_{H^{s,p}(\mathbb{R}^n)} : g \in H^{s,p}(\mathbb{R}^n), g|_{\Omega} = f \right \} .

다시 한번,

H^{s,p}(\Omega)

는 바나흐 공간이며, ''p'' = 2인 경우에는 힐베르트 공간이다.

소볼레프 공간에 대한 확장 정리를 사용하면,

\Omega

가 균일한 ''C^k'' 경계를 가진 영역이고, ''k''가 자연수이며,

1 < p < \infty

인 경우, 동등한 노름의 의미에서

W^{k,p}(\Omega) = H^{k,p}(\Omega)

가 성립함을 보일 수 있다. 임베딩에 의해

:

H^{k+1,p}(\mathbb{R}^n) \hookrightarrow H^{s',p}(\mathbb{R}^n) \hookrightarrow H^{s,p}(\mathbb{R}^n) \hookrightarrow H^{k,p}(\mathbb{R}^n), \quad k \leqslant s \leqslant s' \leqslant k+1

베셀 포텐셜 공간

H^{s,p}(\mathbb{R}^n)

은 소볼레프 공간

W^{k,p}(\mathbb{R}^n)

사이에 연속적인 척도를 형성한다. 추상적인 관점에서, 베셀 포텐셜 공간은 소볼레프 공간의 복소 보간 공간으로 나타난다. 즉, 동등한 노름의 의미에서

:

\left [ W^{k,p}(\mathbb{R}^n), W^{k+1,p}(\mathbb{R}^n) \right ]_\theta = H^{s,p}(\mathbb{R}^n),

여기서

1 \leqslant p \leqslant \infty, \ 0 < \theta < 1

이고

s= (1-\theta)k + \theta (k+1)= k+\theta

이다.

''k''가 정수가 아닌 경우를 다룰 때는 오해를 방지하기 위해 ''k'' 대신 ''s''를 사용하여 ''W''^''s'',''p''나 ''H''^''s'' 등으로 표기하는 것이 일반적이다.

''p'' = 2인 경우는 푸리에 전개 기술을 그대로 일반화할 수 있기 때문에 가장 간단하다. 노름은

:

\|f\|^2_{s,2}:=\sum (1+n^2)^s|\hat{f}(n)|^2

로 정의되며, 소볼레프 공간 ''H''^''s''는 이 노름이 유한한 함수 전체의 공간으로 정해진다.

''p''가 2가 아닌 경우에도 비슷하게 다룰 수 있다. 이 경우 파세발의 정리는 더 이상 성립하지 않지만, 미분은 여전히 푸리에 영역에서의 곱셈에 대응하며, 분수 계 미분으로 일반화할 수 있다. 따라서 작용소의 계수 ''s''에 대한 '''분수 계 미분'''을, 푸리에 변환을 취하고

(in)^s

를 곱한 다음 푸리에 역변환을 수행하여 정의할 수 있다.

:

F^s(f):=\sum_{n=-\infty}^\infty (in)^s\hat{f}(n)e^{int}

(푸리에 변환, 곱셈 작용, 푸리에 역변환을 수행하여 얻는 작용소를 푸리에 승수(Fourier multiplier)라고 하며, 이것 자체가 연구 대상이다). 이를 통해 (''s'',''p'')-소볼레프 노름이

:

\|f\|_{s,p}:=\|f\|_p+\|F^s(f)\|_p

으로 정의되며, 통상적인 경우와 마찬가지로 소볼레프 공간은 소볼레프 노름이 유한한 함수 전체로 구성된 공간으로 정의된다.

"분수차 소볼레프 공간"을 얻는 또 다른 방법으로, 복소 보간법이 있다. 복소 보간법은 일반적인 방법으로, 임의의

0 \leqslant t \leqslant 1

과 더 큰 바나흐 공간으로 연속적으로 매장된 바나흐 공간 ''X'', ''Y''에 대해

[X, Y]_t

로 표기되는 "중간 공간"을 만들 수 있다 (실 보간법은 추적 작용소의 특징 규정에 대한 소볼레프 이론에서 중요하다). 이때 공간 ''X''와 ''Y''는 보간 쌍이라고 불린다.

복소 보간법에 대해 유용한 정리를 몇 가지 언급한다.

; 재보간:

[ [X, Y]_a, [X, Y]_b ]_c = [X , Y]_{cb+(1-c)a}

.

; 작용소의 보간: {''X'', ''Y''} 및 {''A'', ''B''}를 보간 쌍으로 하고, ''T''를 ''X'' + ''Y''에서 정의되는 ''A'' + ''B''로의 선형 사상으로 ''X''를 ''A''로 연속적으로 사상하고 ''Y''를 ''B''로 연속적으로 사상한다고 하면, ''T''는

[X, Y]_t

를

[A, B]_t

로 연속적으로 사상한다. 이때 보간 부등식 (interpolation inequality^eng)

\|T\|_{[X,Y]_t \to [A,B]_t}\leq C\|T\|_{X\to A}^{1-t}\|T\|_{Y\to B}^t

가 성립한다(리스-소린의 정리 참조).

소볼레프 공간으로 돌아가서, 비정수 ''s''에 대한

W^{s,p}

를 정수 차수의 공간

W^{k,p}

들을 보간함으로써 정의한다. 실제로 다음이 성립한다.

; 정리: ''n''이

n = tm

인 정수라면

\left[W^{0,p},W^{m,p}\right]_t=W^{n,p}

가 성립한다.

따라서 복소 보간법은

W^{k,p}

사이에 있는 공간의 연속체

W^{s,p}

를 얻는 일관된 방법이다. 또한, 이는 분수 계 도함수가 이루는 공간과 동일한 것을 정의한다.

5. 5. 소볼레프-슬로보데츠키 공간 (Sobolev–Slobodeckij Spaces)

횔더 조건을 ''L^p'' 설정으로 일반화하려는 아이디어에서 분수 차수 소볼레프 공간을 정의하는 또 다른 접근 방식이 있다.^[6]

1 \leqslant p < \infty, \theta \in (0, 1)

이고

f \in L^p(\Omega)

일 때, '''슬로보데츠키 세미노름'''(횔더 공간의 횔더 세미노름과 유사하다)은 다음과 같이 정의된다.

:

[f]_{\theta, p, \Omega} :=\left(\int_{\Omega} \int_{\Omega} \frac{|f(x)-f(y)|^p}{|x-y|^{\theta p + n}} \; dx \; dy \right )^{\frac{1}{p}}.

s > 0

가 정수가 아닐 때,

\theta = s - \lfloor s \rfloor \in (0,1)

로 정의한다 (

\lfloor s \rfloor

는

s

의 정수 부분). 횔더 공간에서와 비슷한 아이디어로, '''소볼레프-슬로보데츠키 공간'''^[7]

W^{s,p}(\Omega)

는 다음과 같이 정의된다.

:

W^{s,p}(\Omega) := \left\{f \in W^{\lfloor s \rfloor, p}(\Omega) : \sup_{|\alpha| = \lfloor s \rfloor} [D^\alpha f]_{\theta, p, \Omega} < \infty \right\}.

여기서

D^\alpha f

는

f

의

\alpha

차 약미분을 나타내는 멀티 인덱스 표기법이다. 이 공간은 다음 노름에 대해 바나흐 공간이 된다.

:

\|f \| _{W^{s, p}(\Omega)} := \|f\|_{W^{\lfloor s \rfloor,p}(\Omega)} + \sup_{|\alpha| = \lfloor s \rfloor} [D^\alpha f]_{\theta, p, \Omega}.

만약

\Omega

가 특정 확장 연산자가 존재할 만큼 충분히 좋은 경계(적절히 정규적이라면)를 가진다면, 소볼레프-슬로보데츠키 공간은 바나흐 공간들의 척도(scale)를 형성한다. 즉, 다음과 같은 연속적인 포함 관계 또는 임베딩이 성립한다.

:

W^{k+1,p}(\Omega) \hookrightarrow W^{s',p}(\Omega) \hookrightarrow W^{s,p}(\Omega) \hookrightarrow W^{k, p}(\Omega), \quad k \leqslant s \leqslant s' \leqslant k+1.

그러나 경계가 불규칙한

\Omega

에 대해서는

0 < s < 1

일 때

W^{1,p}(\Omega)

가

W^{s,p}(\Omega)

의 벡터 부분 공간조차 되지 않는 예가 존재한다.^[8]

추상적인 관점에서, 소볼레프-슬로보데츠키 공간

W^{s,p}(\Omega)

는 소볼레프 공간들의 실수 보간 공간과 일치한다. 즉, (동등한 노름 하에서) 다음이 성립한다.

:

W^{s,p}(\Omega) = \left (W^{k,p}(\Omega), W^{k+1,p}(\Omega) \right)_{\theta, p} , \quad k \in \N, s \in (k, k+1), \theta = s - \lfloor s \rfloor .

이 공간들은 소볼레프 함수의 경계값(trace) 연구에 중요하며, 베소프 공간의 특수한 경우이다.^[4]

분수 차수 소볼레프 공간

W^{s,p}(\Omega)

의 특성은 부르갱-브레지-미로네스쿠(Bourgain–Brezis–Mironescu) 공식을 통해 특정화될 수 있다. 이 공식은

s \nearrow 1

일 때 슬로보데츠키 세미노름과 함수의 기울기(gradient) 사이의 관계를 나타낸다.

:

\lim_{s \nearrow 1} \; (1 - s)\int_{\Omega} \int_{\Omega} \frac{|f(x)-f(y)|^p}{|x-y|^{s p + n}} \; dx \; dy=\frac{2 \pi^{\frac{n - 1}{2}}\Gamma (\frac{p + 1}{2})}{p \Gamma (\frac{p + n}{2})}\int_{\Omega} \vert \nabla f\vert^p;

여기서

\Gamma

는 감마 함수이다. 또한, 다음 조건은

:

\limsup_{s \nearrow 1}\; (1 - s)

\int_{\Omega} \int_{\Omega} \frac{|f(x)-f(y)|^p}

6. 역사

세르게이 리보비치 소볼레프가 1938년에 도입하였다.^[17]

참조

_[1] 인용 2010
_[2] 인용 2003
_[3] 인용 1976
_[4] 인용 1995
_[5] 문서
_[6] 인용 1995
_[7] 문서
_[8] 저널 Hitchhikerʼs guide to the fractional Sobolev spaces 2012-07-01
_[9] 서적 Optimal control and partial differential equations. In honour of Professor Alain Bensoussan's 60th birthday. Proceedings of the conference, Paris, France, December 4, 2000 Amsterdam: IOS Press; Tokyo: Ohmsha 2001
_[10] 문서
_[11] 서적 Sobolev spaces Academic Press 1975
_[12] 서적 A first course in Sobolev spaces http://bookstore.ams[...] American Mathematical Society 2009
_[13] 서적 Sobolev spaces with applications to elliptic partial differential equations Springer 2011
_[14] 서적 Sobolev spaces on Riemannian manifolds Springer-Verlag
_[15] 저널 "''H''=''W''" 1964
_[16] 서적 Spin geometry Princeton University Press 1989
_[17] 저널 Об одной теореме функционального анализа http://mi.mathnet.ru[...] 1938

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